Gleichgewichtsraum und eine Pseudolinearisierung nichtlinearer Systeme

Dec 12, 2023

Wissenschaftliche Berichte Band 12, Artikelnummer: 21147 (2022) Diesen Artikel zitieren

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In diesem Artikel wird versucht, das Konzept des Gleichgewichtspunkts auf den sogenannten Gleichgewichtsraum zu erweitern, der sich an ein System anpassen kann, in dem es unendlich viele Gleichgewichtspunkte gibt. Im Kontext der für den Gleichgewichtsraum erweiterten Linearisierungsmethode von Lyapunov schlägt dieser Artikel eine Pseudolinearisierung vor, aus der wir eine lineare Darstellung für ein nichtlineares System ableiten können. Es wird gezeigt, dass der Gleichgewichtszustand dieser Pseudolinearisierung und ihre Stabilität mit denen des ursprünglichen nichtlinearen Systems identisch sind. Als Beispiel für die Anwendbarkeit wird die vorgeschlagene Pseudolinearisierung angewendet, um ein zeitdiskretes Modell für ein Steuermoment-Gyroskopsystem aus einem nichtlinearen zeitkontinuierlichen Modell abzuleiten. Simulationsergebnisse zeigen, dass das diskrete Zeitmodell, das mit der vorgeschlagenen Pseudolinearisierung abgeleitet wurde, Antworten liefert, die näher an denen des zeitkontinuierlichen Modells liegen als das diskrete Zeitmodell, das mit der bekannten Vorwärtsdifferenzmethode und der herkömmlichen pseudolinearen Darstellung abgeleitet wurde Methode auch bei großem Abtastintervall.

Die meisten technischen Systeme, die auf Naturphänomenen basieren, sind nichtlinear. Die Analyse der Stabilität und der Entwurf von Reglern für nichtlineare Systeme sind wichtige Themen in der Systemregelungstheorie1. Trotz der bahnbrechenden Forschung auf diesem Gebiet gibt es jedoch keine universelle Methode zum Entwurf nichtlinearer Steuerungssysteme2. Um die Stabilität nichtlinearer Systeme zu untersuchen, ist die Lyapunov-Theorie, die sowohl die direkte Methode als auch die Linearisierungsmethode (oder indirekte Methode) umfasst, einer der allgemeinsten und nützlichsten Ansätze. Die direkte Methode wird verwendet, um die globale Stabilität nichtlinearer Systeme mithilfe der Lyapunov-Funktion zu untersuchen. Ein Nachteil dabei ist jedoch, dass es keine allgemeine Möglichkeit gibt, die Ljapunow-Funktion für ein bestimmtes System abzuleiten. Im Gegensatz dazu untersucht die Linearisierungsmethode die lokale Stabilität um einen Gleichgewichtspunkt auf der Grundlage ihrer linearen Näherung und ist zu einem wichtigen Werkzeug für den Entwurf von Reglern für nichtlineare Systeme unter Verwendung der bekannten linearen Regelungstheorien geworden3,4,5. In den letzten Jahren haben sich der Koopman-Operator und die Kontraktionsanalyse zu zwei der beliebtesten Ansätze entwickelt, um die Stabilität einfach hyperbolischer Gleichgewichte nichtlinearer Systeme global und genau mithilfe der linearen Systemtheorie zu analysieren6,7.

In Systemen wie einem Roboter, der sich ohne Reibung auf einer horizontalen Ebene bewegt8,9 oder einem Pendel, das nicht unter dem Einfluss der Schwerkraft steht10,11, in denen Position/Winkel und Geschwindigkeit als Zustandsvariablen ausgewählt werden und die Anfangsgeschwindigkeit auf Null gesetzt wird, z In einer beliebigen Ausgangsposition bleibt das System für alle zukünftigen Zeitpunkte im Ausgangszustand. Genauer gesagt verfügen diese Systeme über eine unendliche Anzahl von Gleichgewichtspunkten, die unabhängig von der Position sind. Ein solcher Satz nicht isolierter Gleichgewichte wird als Gleichgewichtsmannigfaltigkeit bezeichnet12,13. Es ist zu beachten, dass sich dieses Konzept der Mannigfaltigkeit von Gleichgewichten von der zentralen Mannigfaltigkeit eines isolierten Gleichgewichts unterscheidet14,15. Die Linearisierungsmethode von Lyapunov ist ein nützliches Werkzeug zur Untersuchung der Stabilität eines einzelnen Gleichgewichtspunkts. Bei Systemen mit unendlich vielen Gleichgewichtspunkten ist es jedoch nicht realistisch, alle Gleichgewichtspunkte einzeln zu untersuchen. Darüber hinaus sind die oben genannten Beispiele als nichtholonome Systeme bekannt, und die Linearisierung kann die Steuerbarkeit des ursprünglichen nichtlinearen Systems verändern16,17,18,19. Obwohl das nichtlineare System steuerbar ist, wird seine Linearisierung daher unkontrollierbar und für den Reglerentwurf unerreichbar. In diesem Artikel wird versucht, das Konzept der Gleichgewichtspunkte auf den sogenannten Gleichgewichtsraum zu erweitern, der sich an Systeme mit einer unendlichen Anzahl von Gleichgewichtspunkten anpassen kann. Im Zusammenhang mit Lyapunovs Linearisierungsmethode schlägt dieser Artikel eine Pseudolinearisierung vor, mit der wir ein nichtlineares System ableiten können, das durch die lineare Form dargestellt wird20,21,22,23. Die Hauptbeiträge dieses Papiers lauten wie folgt:

Vorschlag einer Definition des Gleichgewichtsraums, die eine Erweiterung des Konzepts des Gleichgewichtspunkts darstellt;

Vorschlag einer Pseudolinearisierung basierend auf dem Gleichgewichtsraum und Nachweis, dass der Gleichgewichtszustand dieser Pseudolinearisierung und ihre Stabilität mit denen des ursprünglichen nichtlinearen Systems identisch sind;

Die vorgeschlagene Pseudolinearisierung wird angewendet, um ein zeitdiskretes Modell für ein Kontrollmoment-Gyroskopsystem (CMG) abzuleiten, eine Anwendung des Kreiseleffekts, der häufig als Lagesteuerungsaktuator für künstliche Satelliten und Raumfahrzeuge verwendet wird24,25,26,27 . Der Rest dieses Artikels ist wie folgt gegliedert: Der Abschnitt „Gleichgewichtspunkt und Ljapunow-Linearisierung“ fasst die Definition von Gleichgewichtspunkten und Ljapunows Linearisierungsmethode zusammen. Die Definition des Gleichgewichtsraums, die entsprechende Pseudolinearisierung und ihre Eigenschaften werden im Abschnitt „Gleichgewichtsraum und Pseudolinearisierung“ vorgestellt. Eine Anwendung der Pseudolinearisierung zur Ableitung eines zeitdiskreten Modells des CMG-Systems wird im Abschnitt „Zeitdiskretes Modell des CMG-Systems basierend auf Pseudolinearisierung“ vorgestellt. Die Simulationsergebnisse für das CMG-System werden im Abschnitt „Simulationen“ vorgestellt und abschließend werden im Abschnitt „Schlussfolgerung“ Schlussfolgerungen gegeben.

Zunächst betrachten wir ein System, das durch die folgende Zustandsraumgleichung beschrieben wird

wobei \({\mathbf{x}}\) ein Systemzustand ist, der zu einem Zustandsraum \({\mathbf{X}} \subset R^{n}\ gehört), die Zeit t eine unabhängige Variable ist und \({\mathbf{f}} :{\mathbf{X}} \rightarrow R^{n}\) ist eine stetig differenzierbare Systemfunktion.

Angenommen, \({\mathbf{x}}_{ep} \in {\mathbf{X}}\) ist ein Gleichgewichtspunkt von (1), d. h.

Eine Linearisierung von (1) um den Gleichgewichtspunkt \({\mathbf{x}}_{ep}\) ist gegeben durch

wobei \(D{\mathbf{f}}\left( {\mathbf{x}}_{ep} \right) \) eine Jacobi-Matrix von \({\mathbf{f}}\left( {\mathbf {x}} \right) \) bei \({\mathbf{x}}_{ep}\), also,

Es ist darauf hinzuweisen, dass

Wenn also \({\mathbf{x}}_{ep}\) ein Gleichgewichtspunkt des durch Gl. beschriebenen Systems ist. (1) ist es auch ein Gleichgewichtspunkt des durch Gl. beschriebenen linearisierten Systems. (3). Darüber hinaus haben wir

Nach dem indirekten Satz von Lyapunov ist die Stabilität von \({\mathbf{x}}_{ep}\) im Originalsystem und im linearisierten System lokal identisch4,5.

Der oben erwähnte indirekte Satz von Lyapunov ist ein nützliches Werkzeug zur Untersuchung der Stabilität eines einzelnen Gleichgewichtspunkts. Bei einem System mit unendlich vielen Gleichgewichtspunkten ist es jedoch unrealistisch, alle Gleichgewichtspunkte einzeln zu untersuchen. In diesem Abschnitt wird das im Abschnitt „Gleichgewichtspunkt und Lyapunov-Linearisierung“ vorgestellte Konzept eines Gleichgewichtspunkts und der entsprechenden Linearisierung erweitert, um ein Konzept für einen Gleichgewichtsraum und eine Pseudolinearisierung zu entwickeln.

(Gleichgewichtsraum) Für ein System beschrieben durch Gl. (1) gibt es einen Unterraum \({\mathbf{X}}_{es}\) des Zustandsraums \({\mathbf{X}}\) (\({\mathbf{X}}_{ es} \subset {\mathbf{X}}\)), befriedigend

Wo

und \({\mathbf{I}}\) ist eine \(n \times n\) Identitätsmatrix, \({{\mathbf{T}}} \in {R^{n \times n}}\) ist eine Diagonalmatrix, deren Elemente Eins oder Null sind und den Rang m (\(m \le n\)) hat, und \(\mathbf{\chi }_{es} \in {\mathbf{X} }\) stellt Zustandswerte dar, wobei \({\mathbf{X}}_{es}\) und \({\mathbf{x}}_{es}\) der Gleichgewichtsraum und der Gleichgewichtszustand von ( 1). Der Parameter m heißt Ordnung des Gleichgewichtsraums \({\mathbf{x}}_{es}\). Die \(\left( {n - m} \right) \)-dimensionale Mannigfaltigkeit, die dem von Null verschiedenen Element der Matrix \(\left( {\mathbf{I}} - {\mathbf{T}} \right) entspricht \) ist als Mannigfaltigkeit von Gleichgewichten bekannt12.

Es sollte beachtet werden, dass, wenn es ein \({\mathbf{x}}_{es}\) gibt, so dass \({\mathbf{f}}\left( {{\mathbf{x}}_{es} } \right) = {\mathbf{0}}\), dann kann \({\mathbf{x}}_{es}\) immer durch die Form von (8) ausgedrückt werden, die aus bestimmten Zuständen besteht\ (({\mathbf{I}} - {\mathbf{T}} ){{\mathbf{\chi}}_{es}}\) und unbestimmte Zustände \(\mathbf{Tx}(t)\). Die Matrix \({\mathbf{T}}\) und der Vektor \({\mathbf{\chi }}_{es}\) sind eindeutig.

Der Gleichgewichtsraum des folgenden Systems

ist gegeben durch

und hat die Ordnung \(m=1\). Die Gleichgewichtsmannigfaltigkeit dieses Systems ist die Gerade \(x_1=2\).

Für einen beliebigen Punkt \({\mathbf{x}}_{ep} \in {\mathbf{X}}_{es}\) ist \({\mathbf{x}}_{ep}\) ein Gleichgewichtspunkt von (1). Der Gleichgewichtsraum \({\mathbf{X}}_{es}\) besteht aus unendlich vielen Gleichgewichtspunkten.

Wenn die Ordnung des Gleichgewichtsraums Null ist (\(m=0\)), also \({\mathbf{T}}={\mathbf{0}}\), ist der Gleichgewichtsraum eine Menge konventionell isolierter Elemente Gleichgewichtspunkte \({\mathbf{\chi }}_{es}\).

Wenn die Ordnung des Gleichgewichtsraums \(m=n\), also \({\mathbf{T}}={\mathbf{I}}\), der Gleichgewichtsraum \({\mathbf{X}}_ {es}\) und der Zustandsraum \({\mathbf{X}}\) identisch sind. Mit anderen Worten: System (1) ist nicht dynamisch, also ein statisches System.

Für ein lineares System \(\dot{{\mathbf{x}}} = {\mathbf{Ax}}\) ist die Ordnung des Gleichgewichtsraums m identisch mit der Dimension des Nullraums der Systemmatrix A.

Im Kontext des im Abschnitt „Gleichgewichtspunkt und Lyapunov‘-Linearisierung“ vorgestellten Gleichgewichtspunkts können wir die folgenden Ergebnisse für den Gleichgewichtsraum ableiten.

Indem wir System (1) um \({\mathbf{x}}_{es}\) linearisieren, können wir das folgende System ableiten

Es ist zu beachten, dass der Gleichgewichtszustand \({\mathbf{x}}_{es}\) aus einem Teil des Zustands \({\mathbf{x}}\) besteht, obwohl das durch Gl. (11) wird durch eine lineare Form dargestellt, es ist ein nichtlineares System, und dies wird als pseudolineare Darstellung bezeichnet. Während die herkömmliche pseudolineare Form normalerweise die ursprüngliche nichtlineare Funktion \({\mathbf{f}}\) in einer linearen Form20,21,22,23 darstellt, d. h.

das pseudolineare System (11) ist eine Näherung des ursprünglichen Systems. Durch die Darstellung eines nichtlinearen Systems in der pseudolinearen Form können Theorien linearer Systeme angewendet werden, um Regler für das nichtlineare System zu analysieren oder zu entwerfen20,23,28. Darüber hinaus gibt es einige charakteristische Eigenschaften, die Erweiterungen des Gleichgewichtspunkts sind, wie unten beschrieben.

Stellen Sie sich ein System vor, das dem in Beispiel 1 verwendeten entspricht. Die herkömmliche pseudolineare Darstellung dieses Systems ist durch Gleichung (1) gegeben. (12), wobei \({\mathbf{x}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}}\end{array} } \right] ^T}\), \({{\mathbf{b}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\end{array }} \right] ^T}\), und

Es ist zu beachten, dass die Matrix \({\mathbf{A}}({\mathbf{x}})\) eine andere Form annehmen kann, d. h.

Das durch (10) gegebene pseudolineare Näherungssystem um den Gleichgewichtszustand \({\mathbf{x}}_{es}\) kann eindeutig in der Form von (11) geschrieben werden, wobei

Wenn \({\mathbf{x}}_{es}\) ein Gleichgewichtszustand des Systems ist, das durch Gl. (1), dann ist es auch ein Gleichgewichtszustand des pseudolinearisierten Systems, wie durch Gleichung dargestellt. (11).

Aus der Definition des Gleichgewichtsraums und nach dem Ersetzen von \({\mathbf{x}}_{es}\) durch \({\mathbf{f}}_{es}\) gegeben durch Gl. (11) haben wir

Damit ist der Beweis für Satz 1 erbracht. \(\Quadrat \)

Die Stabilitäten von \({\mathbf{x}}_{es}\) im Originalsystem (1) und im pseudolinearisierten System (11) sind lokal identisch.

Bevor wir Satz 2 beweisen, zeigen wir das Ergebnis des folgenden Lemmas.

Wenn \({\mathbf{x}}_{es}\in {\mathbf{X}}_{es}\), dann ist die Jacobi-Matrix von \({\mathbf{f}}\) bei \({ \mathbf{x}}_{es}\) und die Matrix \({\mathbf{T}}\) in Definition 1 sind orthogonal, d. h.

Für \({\mathbf{x}}_{es} \in {\mathbf{X}}_{es}\) gilt

Indem wir beachten, dass \({\mathbf{x}}_{es}\) aus \({\mathbf{x}}\) besteht, können wir \({\mathbf{f}}\left( {{ \mathbf{x}}_{es}}\right)\) als Funktion von \({\mathbf{x}}\). Differenzieren beider Seiten von Gl. (18) bezüglich \({\mathbf{x}}\) leitet Folgendes ab:

Unter Verwendung der Kettenregel der zusammengesetzten Funktion gilt Gl. (19) kann geschrieben werden als

Aus der Definition des Gleichgewichtsraums nach Gl. (8) haben wir

Indem man das bemerkt

Ersetzen der Gleichungen. (21) und (22) in Gl. (20) ermöglicht die Ableitung von Gl. (17). \(\Quadrat \)

Dann liefert das Folgende den Beweis von Satz 2.

Durch Differenzieren der Funktion \({{\mathbf{f}}_{es}}\) gegeben durch Gl. (11) bezüglich \({\mathbf{x}}\) gilt

Unter Verwendung des Ergebnisses von Lemma 1 und Gl. (21) können wir daraus ableiten

Ersetzen von Gl. (24) in Gl. (23) gibt

Durch Ersetzen von \({\mathbf{x}}_{es}\) für \({\mathbf{x}}\) in Gl. (25) können wir ableiten

Indem ich das bemerke

wir können Gleichung umschreiben. (26) als

Ein beliebiger Punkt \({\mathbf{x}}_{ep} \in {\mathbf{X}}_{es}\) ist ein Gleichgewichtspunkt des Systems (1), der Gleichung (1) erfüllt. (28), d. h.

Gemäß der indirekten Methode von Lyapunov, die im Abschnitt „Gleichgewichtspunkt und Linearisierung von Lyapunov“ vorgestellt wird, sind die Stabilitäten von \({\mathbf{x}}_{es}\) im ursprünglichen System (1) und im pseudolinearisierten System ( 11) sind lokal identisch. \(\Quadrat \)

Die in den Abschnitten „Gleichgewichtspunkt und Lyapunov‘-Linearisierung“ und „Gleichgewichtsraum und Pseudolinearisierung“ dargestellten Ergebnisse für den Gleichgewichtspunkt und den Gleichgewichtszustand sind auch für das System mit Steuereingang verfügbar, d. h.

Das CMG wird als Beispiel für die Anwendung des vorgeschlagenen Gleichgewichtspunkts und der Pseudolinearisierung betrachtet. Das CMG ist eine Anwendung des Gyro-Effekts und wird häufig als Lageregelungsaktuator für künstliche Satelliten und Raumfahrzeuge verwendet. Es besteht hauptsächlich aus vier starren Körpern, wie in Abb. 1 dargestellt. Rotor 1 (Schwungrad) dreht sich mit hoher Geschwindigkeit, um Drehimpulse zu sammeln, und durch Kippen der Kardanringe 2, 3 und 4 kann die Rotationskraft von Rotor 1 ausgegeben werden zu jeder anderen Drehachse. Um die Formel expliziter und ohne Beschränkung der Allgemeinheit zu beschreiben, betrachten wir in dieser Studie das 3-Achsen-Antriebs-CMG-Modell mit Gimbal 3, das fest ist.

Struktur des CMG-Systems.

Seien \({J_{ix}},\,\,{J_{iy}},\,\,{J_{iz}}\) die Trägheitsmomente des starren Körpers i bezüglich des festen x, y- bzw. z-Achse; Sei \(q_i\) und \(\omega _i\) der relative Winkel und die relative Winkelgeschwindigkeit des starren Körpers i in Bezug auf den starren Körper \(i+1\) (\(i = 1,\,\ ,2,\,\,3\)); \({q_4}\) und \(\omega _4\) sind der relative Drehwinkel bzw. die Winkelgeschwindigkeit von Kardanring 4 in Bezug auf das Trägheitskoordinatensystem; und \(\tau _1\) und \(\tau _2\) sind die externen Drehmomente, die zur Steuerung der Drehung von Rotor 1 bzw. Kardanring 2 verwendet werden.

Ein Zustandsraummodell des CMG-Systems kann in Form von Gl. abgeleitet werden. (30) unter Verwendung der Euler-Lagrange-Bewegungsgleichung29, wobei die Systemfunktion gegeben ist durch

In Gl. (31), \({\mathbf{x}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{q_2}}&{\begin{array}{*{20} {c}}{{q_4}}&{{\omega_1}}&{{\omega_2}}\end{array}}&{{\omega_4}}\end{array}} \right] ^T }\) und \({{\mathbf{u}}} = {\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{\tau_1}}&{{\tau_2}} \end{array} }\right]^T}\) sind der Systemstatus bzw. die Systemeingabe. Es ist zu beachten, dass der Drehwinkel \(q_1\) nicht in der Bewegungsgleichung des CMG vorkommt; Daher wird es nicht innerhalb der Zustandsvariablen berücksichtigt. Zusätzlich kann \(q_1\) durch Integration der Winkelgeschwindigkeit \(\omega _1\) berechnet werden. Die Funktionen \({f_i}\left({\mathbf{x}}\right)\) und \({g_i}\left({\mathbf{x}}\right)\) sind wie folgt angegeben:

Wo

In der obigen Gleichung sind \(S_{\theta }^{i}\) und \(C_{\theta }^{i}\) definiert durch

Wenn die Systemeingabe Null ist, also \({{\mathbf{u}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\tau _1}}&{{ \tau _2}}\end{array}} \right] ^T} = {\mathbf{0}}\), nach Gl. (31) haben wir

Es ist zu beachten, dass das Einsetzen von \({\omega _2} = {\omega _4} = 0\) in die Gleichungen. (32), (34) und (36) ergeben

unabhängig von den Werten von \(q_2\), \(q_4\) und \(\omega _1\). Der Gleichgewichtsraum des CMG-Systems kann geschrieben werden als

Wo

Gleichung (47) kann auch geschrieben werden als

Die Pseudolinearisierung des CMG-Systems um den obigen Gleichgewichtszustand ist gegeben durch

Das durch Gl. beschriebene System (51) hat die Form eines linearen Systems, d. h.

das über ein exaktes zeitdiskretes Modell verfügt, wie in30 beschrieben

Dabei ist T ein Abtastintervall und \(\delta \) ein durch definierter Delta-Operator

Ein durch die Vorwärtsdifferenzmethode abgeleitetes zeitdiskretes Modell des Systems (30) ist gegeben durch

Mit MATLAB/Simulink wurden Simulationen durchgeführt, um die Reaktionen der zeitdiskreten Modelle für das CMG-System zu vergleichen, die mit der herkömmlichen linearisierten Diskretisierungsmethode (CL), der Vorwärtsdifferenzmethode (FD) und der herkömmlichen pseudolinearen Darstellungsmethode (CPL) abgeleitet wurden ) und die vorgeschlagene gleichgewichtsraumbasierte Pseudolinearisierungsmethode (ESPL) mit der ursprünglichen nichtlinearen zeitkontinuierlichen Reaktion (CT). Die Trägheitsmomente des in den Simulationen verwendeten CMG sind in Tabelle 124 angegeben.

In allen Simulationen wurde der Anfangswert des Systems auf Null gesetzt, also \({{\mathbf{x}}_0} = {\mathbf{0}}\), und die Simulationszeit betrug 30 Sekunden. Das Eingangsdrehmoment \(\tau _1\), das zum Drehen des Innenrads verwendet wird, und dasjenige \(\tau _2\), das zum Kippen des Kardanrings 2 verwendet wird, um den Kreiseleffekt zu erzeugen, werden durch die folgenden Impulssignale angegeben

Dabei ist \(\tau _1\) eine Einheitsschrittfunktion und \(A_1\) und \(A_2\) sind Amplituden von \(\tau _1\) bzw. \(\tau _2\). Die Wellenform der Eingangsdrehmomente ist in Abb. 2 dargestellt. Wenn \(A_1\) groß und \(A_2\) klein ist, ist das CMG sehr stabil. Wenn hingegen \(A_1\) klein und \(A_2\) groß ist, ist das CMG schwach stabil. Die Genauigkeit eines zeitdiskreten Modells hängt im Allgemeinen vom Wert des Abtastintervalls T ab. In den Simulationen haben wir die Reaktionen der zeitdiskreten Modelle mit verschiedenen Werten der Amplituden \(A_1\), \( A_2\) und der Abtastperiode T. Die Parameter sind in Tabelle 2 zusammengefasst.

Wellenform der Eingangsdrehmomente.

Abbildung 3a zeigt die Reaktionen der diskreten Zeitmodelle im Vergleich zu denen des zeitkontinuierlichen Modells für \({A_1} = {A_2} = \)1,0 N·m und \(T = \) 0,0001 s. Abbildung 3b ist eine Vergrößerung von Abbildung 3a für \(29 \le t \le 30\). Während die Antworten für \(q_2\), \(\omega _2\), \(q_4\) und \(\omega _4\) der zeitdiskreten FD- und CPL-Modelle tendenziell von den zeitkontinuierlichen Antworten abweichen Als die Zeit t zunahm, lieferte das vorgeschlagene zeitdiskrete ESPL-Modell Antworten, die denen des CT-Modells nahe kamen. Die Reaktion für \(q_1\) aller drei zeitdiskreten Modelle wies hochfrequente Schwingungen auf, deren Amplitude und Phase sich wesentlich von denen des CT-Modells unterschieden. Abbildung 4 zeigt die Reaktionen für das in Abb. 3 gezeigte System, jedoch mit \({A_1} = \) 2,0 N·m. In diesem Fall schwingen die Zustände des CMG mit einer höheren Frequenz. Die Antworten des FD- und des CPL-Modells begannen früher auseinander zu gehen, während das ESPL im Vergleich zu dem CT-Modell genaue Antworten lieferte. Die Abbildungen 5 und 6 zeigen die Reaktionen des Systems, wobei die Drehmomentamplituden \(A_1\) und \(A_2\) die gleichen Werte wie in den Abbildungen haben. 3 bzw. 4, jedoch mit einem Abtastintervall von \(T = \)0,001 s, was dem Zehnfachen des in den Abbildungen gezeigten entspricht. 3 und 4. Während das vorgeschlagene zeitdiskrete ESPL-Modell Antworten lieferte, die denen des zeitkontinuierlichen CT-Modells mit einem großen Abtastintervall genau nahe kamen, behielten die zeitdiskreten FD- und CPL-Modelle die Merkmale nicht bei und ihre Antworten waren es unterscheidet sich deutlich vom CT-Modell.

Antworten der CT-, FD-, CPL- und ESPL-Modelle für Fall 1.

Antworten der CT-, FD-, CPL- und ESPL-Modelle für Fall 2.

Antworten der CT-, FD-, CPL- und ESPL-Modelle für Fall 3.

Antworten der CT-, FD-, CPL- und ESPL-Modelle für Fall 4.

Reaktionen der CT-, CL- und ESPL-Modelle für das (relativ) exakte Gleichgewicht.

Antworten der CT-, CL- und ESPL-Modelle für den Gleichgewichtspunkt mit Fehler.

Eine weitere Simulation wurde durchgeführt, um das ESPL-Modell, das aus der vorgeschlagenen Pseudolinearisierung basierend auf dem Zustandsgleichgewicht abgeleitet wurde, und das CL-Modell, das aus der herkömmlichen Linearisierung um den Gleichgewichtspunkt abgeleitet wurde, zu vergleichen. Da das CMG-System über unendlich viele Gleichgewichtspunkte verfügt, kann der stationäre Zustand des CMG als Kandidat für den Gleichgewichtspunkt betrachtet werden, von dem aus die konventionelle Linearisierung vorgenommen wird. Der stationäre Zustand des CMG hängt jedoch von den Eingangsdrehmomenten ab und kann nicht analytisch berechnet werden. Darüber hinaus bleiben hochfrequente Schwingungen im stationären Zustand. Diese Probleme werden bedeutsam, wenn man die konventionelle Linearisierung um den Gleichgewichtspunkt betrachtet. In dieser Studie wurde zunächst das zeitkontinuierliche Modell simuliert und anschließend dessen stationärer Zustand, dessen hochfrequente Schwingungen herausgefiltert wurden, als Gleichgewichtspunkt für die Linearisierung verwendet. Betrachten Sie ein System mit denselben Parametern wie in Abb. 5. Der Gleichgewichtspunkt für diesen Fall wird aus den zeitkontinuierlichen Reaktionen als \({\mathbf{x}}_{ep} = {\left[ {\begin {array}{*{20}{c}}0&{\begin{array}{*{20}{c}}{0.638}&\quad {29.2}&\quad 0\end{array}}&0\end {array}} \right] ^T}\). Abbildung 7 zeigt die Reaktionen des CL und des vorgeschlagenen zeitdiskreten ESPL-Modells im Vergleich zu denen des zeitkontinuierlichen CT-Modells. Obwohl der Gleichgewichtspunkt so genau wie möglich geschätzt wurde, gab es Unterschiede zwischen den Eigenschaften und den Reaktionen der CL- und CT-Modelle. Die Schwingung von \(\omega _1\) im CT-Modell wurde im CL-Modell nicht reproduziert. Wenn der Gleichgewichtspunkt mit einem Fehler von beispielsweise \(10\% \) von \(\omega _1\) im Vergleich zum in Abb. 7 gezeigten Fall geschätzt wurde, d. h. \({\mathbf{x}} _{ep} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&{\begin{array}{*{20}{c}}{0.638}&\quad {31.1}& \quad 0\end{array}}&\quad 0\end{array}} \right] ^T}\) unterschieden sich die Reaktionen des CL-Modells von denen des CT-Modells, nicht nur in der Amplitude, sondern auch in die Frequenz der Schwingungen (Abb. 8). Das vorgeschlagene ESPL-Modell lieferte genaue Antworten und erforderte keine Schätzung des Gleichgewichtspunkts.

In dieser Arbeit wird ein neues Konzept des Gleichgewichtsraums vorgeschlagen, das eine Erweiterung des Konzepts eines Gleichgewichtspunkts im Raum darstellt. Der bekannte indirekte Satz von Lyapunov ist ein nützliches Werkzeug zur Untersuchung der Stabilität eines einzelnen Gleichgewichtspunkts. Bei Systemen mit unendlich vielen Gleichgewichtspunkten ist es jedoch nicht realistisch, alle Gleichgewichtspunkte einzeln zu untersuchen. Das Konzept eines Gleichgewichtsraums kann daher als Versuch angesehen werden, diese Lücke bei der Betrachtung des Gleichgewichtspunkts zu schließen. Obwohl dieses Konzept der von Wissenschaftlern zuvor vorgeschlagenen Mannigfaltigkeit von Gleichgewichten entspricht, wird erwartet, dass die in dieser Studie vorgeschlagene Definition des Gleichgewichtsraums es den Anwendungen bei technischen Problemen näher bringt. Im Sinne der Linearisierungsmethode von Lyapunov schlägt dieser Artikel eine Pseudolinearisierung vor, mit der wir ein nichtlineares System in linearer Form ableiten können. Es wird gezeigt, dass der Gleichgewichtszustand dieser Pseudolinearisierung und ihre Stabilität mit denen des ursprünglichen nichtlinearen Systems identisch sind. Um die möglichen Anwendungen zu demonstrieren, wurde die vorgeschlagene Pseudolinearisierung verwendet, um aus einem nichtlinearen zeitkontinuierlichen Modell ein zeitdiskretes Modell für das CMG-System abzuleiten. Simulationsergebnisse zeigten, dass das diskrete Zeitmodell, das mithilfe der vorgeschlagenen Pseudolinearisierung abgeleitet wurde, Antworten lieferte, die näher an denen des zeitkontinuierlichen Modells lagen als die diskreten Zeitmodelle, die durch die bekannte Vorwärtsdifferenz, die herkömmliche pseudolineare Darstellung, abgeleitet wurden. und die Linearisierung um die Gleichgewichtspunktmethoden, auch bei großem Abtastintervall. Als nächster Schritt wird die Untersuchung von Anwendungen der Pseudolinearisierung basierend auf dem Gleichgewichtszustand für die Systemanalyse und den Steuerungsentwurf in Betracht gezogen.

Die während der aktuellen Studie verwendeten und/oder analysierten Datensätze sind auf begründete Anfrage beim entsprechenden Autor erhältlich.

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Die Autoren haben keine relevanten finanziellen oder nichtfinanziellen Interessen offenzulegen.

Ryotaro Sakata

Derzeitige Adresse: Electronic Control and Simulation Group, Toyota Systems Corporation, Nagoya, Japan

Abteilung für intelligente und mechanische Interaktionssysteme, Universität Tsukuba, Tsukuba, 305-8573, Japan

Ryotaro Sakata, Tatsuya Oshima, Shin Kawai und Triet Nguyen-Van

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RS und TNV schlugen die Konzeptualisierung vor; Alle Autoren untersuchten die Methodik, verfassten und redigierten das Manuskript; TNV überwachte die Forschung.

Korrespondenz mit Triet Nguyen-Van.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Sakata, R., Oshima, T., Kawai, S. et al. Gleichgewichtsraum und eine Pseudolinearisierung nichtlinearer Systeme. Sci Rep 12, 21147 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-25616-1

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Eingegangen: 05. August 2022

Angenommen: 01. Dezember 2022

Veröffentlicht: 07. Dezember 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-25616-1

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